Kleines Lexikon

Rechnen/Algebra Sekundarstufe I

© by J. Widmer, ATEUS 98

Zweck:

Stichwortverzeichnis:

Addition

Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "+"

Terme der Addition:

3 + 4 = 7

1.Summand plus 2.Summand gleich Summe

auch der Term 3+4 heisst Summe

 

Addition ganzer Zahlen

ausführlich:    vereinfacht:

(+5)+(+3)=+8    5+3=8

(+8)+(-5)=+3    8-5=3

(-2)+(-5)=-7    -2-5=-7

(+3)+(-7)=-4    3-7=-4

Merkregeln:

+(+a) => +a +(-a) => -a

-(-a) => +a -(+a) => -a

Addition von Brüchen

Brüche müssen vor dem Addieren gleichnamig gemacht werden.

4   5   28   25   53     18
— + — = —— + —— = —— = 1 ——
5   7   35   35   35     23

arithmetisches Mittel

auch "Durchschnitt" (z.B. Noten)

Das arithmet. Mittel aus n Zahlen ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen, dividiert durch n.

Assoziativgesetz

auch Zusammenfassungsgesetz; es gilt für die

Addition: (a+b)+c = a+(b+c)

und für die

Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c)

aufzählende Form

eine Mengendarstellung, bei der die Elemente aufgezählt werden.

Beispiel:

A={3,6,9} A ist die Menge mit den Elementen 3,6 und 9

ausklammern

Verwandeln einer Summe bzw. Differenz in ein Produkt

Anwendung der Distributivgesetze (Verteilungsgesetze)

Beispiel: 4a ausklammern

12ab + 8a - 4ac = 4a(3b + 2 - c)

ausmultiplizieren

Verwandeln eines Produktes in eine Summe bzw. Differenz

Anwenden der Distributivgesetze (Verteilungsgesetze)

Beispiel: Klammer mit 3a ausmultiplizieren

3a(2c + c - 1) = 6ac + 3ac - 3a

Aussage

Sprachliche Gebilde, für die es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr oder falsch sind, heissen Aussagen.

Beispiele:

Bern ist die Hauptstadt der Schweiz. (wahre Aussage)

Der Igel ist ein Nagetier. (falsche Aussage)

3+7=11 (falsche Aussage)

Keine Aussagen sind:

Wie geht es Dir?

5+x=12

Hole Wasser!

Aussageform

Sprachliche Gebilde mit Leerstellen oder Platzhaltern, welche

aus einer Aussage entstanden sind, heissen Aussageformen.

Beispiele:

3 + x = 10

... ist Haupstadt von Spanien.

45 < y < 90

Basis

a5 =a·a·a·a·a

Potenz mit Basis a und Exponent 5

beschreibende Form

eine Form der Mengendarstellung, bei der die Elemente beschrieben werden.

Beispiel:

M = {x/ 23 < x < 50}IN

"M ist die Menge aller x aus IN, für die gilt:

x liegt zwischen 23 und 50."

Bewegungsaufgaben

In diesen Aufgaben kommen die Grössen Weg (s) , Zeit (t) und Geschwindigkeit (v) vor.

Es gilt:

    s                     s
v = — <=> s = v·t <=> t = —
    t                     v

Bei zwei bewegten Körpern wird der Bewegungsvorgang am besten

zuerst im s-t-Diagramm aufgezeichnet.

Beziehungen

zwischen Zahlen

Teiler:

8 ist Teiler von 24 <=> 24 ist durch 8 teilbar

Vielfache:

24 ist Vielfaches von 8 <=> 8 ist in 24 enthalten

 

zwischen Mengen

Gleiche Mengen:

Zwei Mengen A und B heissen gleich, wenn jedes Element von A auch

zu B gehört und umgekehrt.

In Zeichen: A = B

 

Teilmengen:

Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element

von A auch zu B gehört.

In Zeichen: A Ì B

Jede Teilmenge ist Teilmenge von sich selbst: A Ì A

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: {} Ì A

Binärsystem

siehe Zweiersystem

Bruttogewicht

"Rohgewicht", Gewicht mit Verpackung

In der Prozentrechnung gilt: (Beispiel)

Bruttogewicht —> 100%

Tara          —>  20%
—————————————————————
Nettogewicht  —>  80%

Bruttorechnungsbetrag

In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel)

Für den Abzug des Rabatts:

Bruttorechnungsbetrag —> 100% ("Rohbetrag")

Rabatt                —>  20% (Mengenvergünstigung)
—————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag  —>  80%

Für den Abzug des Skonto:

Nettorechnungsbetrag  —> 100% ("Reinbetrag")

Skonto                —>   2% (Vergünstigung für prompte Bezahlung)
—————————————————————————————
Warenpreis            —>  98%

Dezimalbruch

Bei der Division zweier natürlicher Zahlen unterscheiden wir

die folgenden drei Fälle:

1. 20 : 4 = 5

Die Division geht auf, der Rest ist 0

2. 21 : 8 = 2,625

Es entsteht ein abbrechender Dezimalbruch

3. 10 : 7 = 1,428571428571... = 1,428571

Es entsteht ein nicht abbrechender Dezimalbruch

(mit Periode: 428571; auch periodischer Dezimalbruch)

Differenz

"Unterschied" zweier Zahlen; Resultat einer Subtraktion

Die Terme heissen:

20 - 9 = 11

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

Beachte: auch der Term 20-9 heisst Differenz

direkt proportional

Beispiel für eine direkte Proportion:

Weg in km  Zeit in h

   30    —>    4

  150    —>   20

"... je grösser der Weg ... desto grösser die Zeit ..."

Der Weg ist (direkt) proportional zur Zeit (bei gleichförmiger Bewegung)

Es gelten die

Proportionen:            ihr Kreuzprodukt ist immer:

4 : 30 = 20 : 150

30 : 4 = 150 : 20        30·20 = 150·4

30 : 150 = 4 : 20

150 : 30 = 20 : 4

Distributivgesetze

Verteilungsgesetze der Multiplikation

bezüglich der Addition und Subtraktion:

a(b+c)=ab+ac und a(b-c)=ab-ac

Dividend

Terme der Division:

8 : 4 = 2

Dividend durch Divisor gleich Quotient

Division

Verknüpfung (Operation) durch ":"

Terme der Division:

8 : 4 = 2

Dividend durch Divisor gleich Quotient

                         8
Auch der Term 8 : 4 bzw. — heisst Quotient
                         4

Division ganzer Zahlen

ausführlich: vereinfacht:

(+12):(+3)=+4 12:3=4

(-15):(+3)=-5 (-15):3=-5

(+24):(-8)=-3 24:(-8)=-3

(-20):(-5)=+4 (-20):(-5)=4

Merkregeln:

+ durch + => + + durch - => -

- durch - => + - durch + => -

Division von Brüchen

Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten

Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.

3   7   3   8   3·8   24
— : — = — · — = ——— = ——
5   8   5   7   5·7   35

a   e   a   f   af
— : — = — · — = ——
b   f   b   e   be

Divisor

Terme der Division:

8 : 4 = 2

Dividend durch Divisor gleich Quotient

Dualsystem

siehe Zweiersystem

Durchschnitt

Durchschnitt von Zahlen: siehe arithmetisches Mittel

Durchschnitt von Mengen: eine Mengenverknüpfung

Unter dem Durchschnitt zweier Mengen A und B versteht man die

Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

In Zeichen: D = A Ç B

Beispiele:

A = {3,6,9,12,15,18,21,24,...}

B = {5,10,15,20,25,...}

D = A Ç B = {15,30,45,60,...}

Beachte:

A Ç A = A A Ç {} = {} {} Ç {} = {}

Element

In der Mathematik spricht man von einer Menge, wenn von jedem Ding feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.

Jene Dinge, die zu einer Menge gehören heissen Elemente dieser Menge.

elementefremd

Zwei Mengen heissen elementefremd, wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist.

Erweitern

Erweitern heisst:

Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizieren

Ziel des Erweiterns ist meistens das Gleichnamigmachen zur Addition bzw. Subtraktion von Bruchzahlen.

Exponent

a5 =a·a·a·a·a

Potenz

mit Basis a und Exponent 5

Faktor

Terme der Multiplikation:

3 · 4 = 12

1. Faktor mal 2. Faktor gleich Produkt

Beachte: auch 3·4 ist ein Produkt

Flächenmasse

Die Flächeneinheiten:

1 km2 = 100 ha = 10'000 a = 1'000'000 m2
1 ha = 100 a = 10'000 m2
1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10'000 cm2 = 1'000'000 mm2
1 dm2 = 100 cm2 = 10'000 mm2
1 cm2 = 100 mm2

 

Merke für die Umwandlungszahlen bei Flächeneinheiten:

"grosse Einheit" —> "kleine Einheit" mal Umrechnungszahl

km2 —> ha —> a —> m2 —> dm2 —> cm2 —> mm2
  ·100  ·100 ·100  ·100   ·100   ·100

 

"kleine Einheit" —> "grosse Einheit" durch Umwandlungszahl

mm2 —> cm2 —> dm2 —> m2 —> a —> ha —> km2
     :100   :100   :100 :100 :100   :100
    ·0,01  ·0,01  ·0,01 ·0,01 ·0,01 ·0,01

 

1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen

bei Flächeneinheiten:

Aufgabe: Wieviele m2 sind in 23,56 ha enthalten?

Lösung:

ha —> a —> m2      ha —> m2
·100  ·100         ·10'000

Es sind 23,56·10'000 = 235'600 m

2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl

bei Flächeneinheiten:

Aufgabe: Wieviele a sind in 3'345 dm2 enthalten?

Lösung:

a —> m2 —> dm2      a —> dm2
 :100 :100          :10'000

Es sind 3'345 : 10'000 a = 0,3345 a

ganze Zahlen

———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7

Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen,

den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z- È {0} È Z+ (È = Vereinigung)

 

Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Gefälle

Unter dem Gefälle bzw. der Steigung versteht man den Höhenunterwschied in Prozenten der horizontalen Distanz.

Beispiel:

Eine Strasse überwindet auf eine horizontale Distanz von 12 km einen Höhenunterschied von 300 m.

12000 m —> 100%

  300 m —> x

    300·100
x = ——————— % = 2,5 %    Die Steigung bzw. das Gefälle beträgt 2,5 %
         12000

Geschwindigkeit

                  Weg               s
Geschwindigkeit = —————         v = —
                  Zeit              t

Die (durchschnittliche) Geschwindigkeit ist der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg.

Umrechnung:

  km   1000 m    5 m
1 —— = —————— = —— —
  h    3600 s   18 s

  m   18 km       km
1 — = —— —— = 3,6 ——            Merke: 1 m/s = 3,6 km/h
    s    5 h        h

Gewichtsmasse

Die Gewichtseinheiten:

1 t = 1000 kg           Selten gebraucht:

1 kg = 1000 g

1 g = 1000 mg           1 q = 100 kg (Zentner, früher Doppelzentner)

Zum Merken:

t   —>   kg   —>   g   —>   mg
  ·1000     ·1000    ·1000

 

mg  —>  g  —>   kg   —>   t
    :1000   :1000    :1000

Gewinn

Beispiel:

Selbstkosten  —> 100%

Gewinn        —> 30%
——————————————————————
Verkaufspreis —> 130%

ggT

Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen ist das Produkt der

gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.

Beispiel:

ggT(308,420) = ?

308 = 2·2·7·11 = 2·2 ·7·11

420 = 2·2·3·5·7 = 2·2·3·5·7

ggT(308,420) = 2·2·7 = 28

 

Merke für das Bruchrechnen:

Der ggT aus Zähler und Nenner ist die grösstmögliche Kürzungszahl.

Gleichnamigmachen

... heisst: Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizieren.

... ist nötig bei der Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche.

kleinster gemeinsamer Nenner: ggT

Gleichung

Sind T1 und T2 Terme, so heisst T1 = T2 Gleichung

Lösungsbeispiel:

8x + 10 = 6(x+4)

8x + 10 = 6x + 24 | -6x

2x + 10 = 24 | -10

2x = 14 | :2

x = 7 Endgleichung

L = {7} Lösungsmenge

Grösse

Eine Grösse (12 km) besteht aus Masszahl (12) und Massbenennung (km)

                 m
Beispiele: 4m , 5— , 4,56 m3
                                  s

Grundwert

Im Beispiel ...

3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.

... ist der Grundwert 400 Fr. (das Ganze)

in der Prozentrechnung gilt:

Grundwert —> 100%

Prozentwert —> p (p Prozentsatz)

Beispiele für Grundwerte:

Kapital, Bruttorechnungsbetrag (Rabatt), Nettorechnungsbetrag (Skonto)

Selbstkosten, Bruttogewicht, Horizontaldistanz

Hohlmasse

Die Volumeneinheiten (Hohlmasse):

1 m3 = 1000 dm3 = 1'000'000 cm3
1 dm3 = 1000 cm3 = 1'000'000 mm3
1 cm3 = 1000 mm3

Beachte besonders:

1hl = 100 l

1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml       1 l = 1 dm3       1000 l = 1 m3

1 dl= 10 cl = 100 ml

1 cl= 10 ml                          1 ml = 1 cm3

Merke für die Umwandlungszahlen bei Volumeneinheiten:

"grosse Einheit" —> "kleine Einheit" mal Umrechnungszahl

m  —>  hl  —>  l=dm  —>  dl  —>  cl  —>  ml=cm  —>  mm
     ·10    ·100       ·10     ·10     ·10       ·1000
——————·1000——————>   ———————·1000————————>

"kleine Einheit" —> "grosse Einheit" durch Umwandlungszahl

mm3  —>  ml=cm3  —>  cl  —>  dl  —>  l=dm3  —>  hl  —>  m3
    :1000       :10     :10     :10       :100     :10
            ——————————:1000——————————> ——————:1000—————>

 

1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen bei Volumeneinheiten:

Aufgabe: 3,4 m3 = ? l

Lösung:

m3 —> dm3 = l (1 Kubikdezimeter = 1 Liter)
   ·1000 (1 Kubikmeter = 1000 Liter)

Es sind 3,4 ·1000 l = 3'400 l

 

2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl bei Volumeneinheiten:

Aufgabe: 34'000 cm3 = ? hl

Lösung:

cm3 = ml —> dm3 = l —> hl
              :1000       :100

Empfehlung: schrittweise vorgehen

 

34'000 cm3 = 34'000 : 1000 l = 34 l = 34 : 100 hl = 0,34 hl

indirekt proportional

Beispiel für eine indirekte Proportion:

Geschwindigkeit in km/h   Zeit in h

        45             —>     4

        60             —>     3

" ...je grösser die Geschwindigkeit, desto kleiner die Zeit ..."

Die Geschwindigkeit ist indirekt (umgekehrt) proportional zur Zeit.

Es gilt die Proportion: und die Produktengleichung:

45 : 60 = 3 : 4          45·4 = 60·3

(umgekehrtes Verhältnis)

Kapital

Ein Geldbetrag: Guthaben, Darlehen, Hypothek, Schuld

Zinsrechnung:

K Kapital in Fr.; z Zins in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;

Jahreszinsformel:

    K·p         z·100
z = ——— <=> K = —————
    100           p

Marchzinsformel:

    K·p·t             z·100·360
z = ———————  <=>  K = —————————
    100·360             p·t

Kehrwert

                 a     b
der Kehrwert von — ist —
                 b     a

                       1
der Kehrwert von a ist —
                       a

                 1
der Kehrwert von — ist b
                                  b

Durch eine Bruchzahl wird dividiert, indem man mit ihrem Kehrwert multipliziert:

2   4   2   5   5
— : — = — · — = —
3   5   3   4   6

kgV

Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen der in ihren Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren.

Beispiel:

kgV(756,1200) = ?

756 = 2·2·3·3·3·7 = 22 · 33 · 7

1200 = 2·2·2·2·3·5·5 = 24 · 3 · 52

kgV(756,1200) = 24 · 33 · 52 · 7 = 75600

Klammern

Klammern zeigen an, was zuerst gerechnet werden muss.

z.B.: 15(23+12)-3(9-7) = 15·35 - 3·2 = ...

Klammern wegschaffen:

1. Klammern auflösen

a + (b + c - d) = a + b + c - d

a - (b + c - d) = a - b - c + d

2. Klammern ausmultiplizieren

3a(2b - c + 4) = 3a·2b - 3a·c + 3a·4 = 6ab - 3ac + 12a

Kommutativgesetz

auch Vertauschungsgesetz

der Addition: a+b = b+a

der Multiplikation: a·b=b·a

Kreuzprodukt

Eine Gleichungsumformung:

Quotientengleichung:              Produktengleichung: (Kreuzprodukt)

a   c 
— = —  oder  a : b = c : d    <=>      a·d = b·c
b   d

 

Anwendung: "Dreisatz"-Aufgaben

125 g —> 28 Fr.       125   380               380·28
380 g —> x            ——— = ———     <=>   x = ——————  =  85,12 [Fr.]
                       28    x                 125

 

Algebra/Geometrie:

Ueber das Kreuzprodukt lässt sich die vierte Proportionale (x)

berechnen:

                                  ac
a : x = b : c <=> bx = ac <=> x = ——
                                   b

Kubikzahl

Ist a eine natürliche Zahl, so ist

a·a·a = a3 Kubikzahl

Beispiele: 1, 8, 27, 64 (=4·4·4) , 125, ...

Kürzen

... heisst:

Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl dividieren.

Grösstmögliche Kürzungszahl: ggT aus Zähler und Nenner

Kursumrechnung

Bedeutung des DM-Kurses 88,20/89,50 (in der Schweiz):

Die Bank zahlt für 100 DM 88,20 Fr. (Kauf)

Der Kunde zahlt für 100 DM 89,50 Fr. (Verkauf)

Beispiele:

Ich brauche 300 DM. Kosten b. obigem Kurs:

100 DM —> 89,50 Fr. (Verkauf)

300 DM —> x x = 268,50 Fr.

Ich bringe 860 DM und kriege bei obigem Kurs:

100 DM —> 88,20 Fr. (Kauf)

860 Dm —> y y = 758,52 Fr.

Längenmasse

Die Längeneinheiten:

1 km = 1000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 cm = 10 mm

1 m = 0,001 km
1 dm = 0,1 m
1 cm = 0,1 dm = 0,01 m
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m

 

Merke für die Umwandlungszahlen bei Längeneinheiten:

"grosse Einheit" —> "kleine Einheit" mal Umwandlungszahl

km  —>  m  —>  dm  —>  cm  —>  mm
  ·1000   ·10     ·10     ·10

 

"kleine Einheit" —> "grosse Einheit" durch Umwandlungszahl

mm  —>  cm  —>  dm  —>  m —>  km
       :10     :10     :10   :1000
    ·0,1    ·0,1     ·0,1  ·0,001

 

1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen bei Längeneinheiten:

Aufgabe: Wieviele cm sind in 45,3 km enthalten?

Lösung:

km  —>  m  —>  dm  —>  cm             km  —>  cm
  ·1000   ·10     ·10                  ·100'000

Es sind 45,3·100'000 cm = 4'530'000 cm

2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl bei Längeneinheiten:

Aufgabe: Wieviele dm sind in 358 mm enthalten?

Lösung:

mm  —>  cm  —> dm        mm  —>  dm
    :10    :10               :100

Es sind 358 : 100 dm = 3,58 dm

Marchzins

Zins für t Tage: zt

K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;

Marchzinsformel:

      K·p·t
zt = ———————
     100·360

Massumrechnung

Beispiele für Massumrechnungen findest Du unter den Stichwörtern:

Flächenmasse

Geschwindigkeit

Gewichtsmasse

Hohlmasse (Volumina)

Längenmasse

Zeitmasse

Menge

In der Mathematik spricht man von einer Menge, wenn von jedem Ding feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.

Jene Dinge, die zu einer Menge gehören heissen Elemente dieser Menge.

Mengendiagramm

Darstellung von Mengen mit Mengenbild(ern)

Menge: geschlossene ovale Linie, innerhalb die Elemente

Minuend

Term der Subtraktion:

12 - 3 = 9

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

Multiplikation

Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "·"

Terme der Multiplikation:

3 · 4 = 12

1. Faktor mal 2. Faktor gleich Produkt

auch der Term 3·4 ist ein Produkt

 

Multiplikation ganzer Zahlen

ausführlich: vereinfacht:

(+5)·(+3)=+15 5·3=15

(-8)·(+5)=-40 (-8)·5=-40

(+3)·(-7)=-21 3·(-7)=-21

(-2)·(-5)=+10 (-2)·(-5)=10

Merkregeln:

+ mal + => + + mal - => -

- mal - => + - mal + => -

Multiplikation von Brüchen

Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man je

die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert.

3   4   3·4   12
— · — = ——— = ——
5   7   5·7   35

natürliche Zahlen

sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden: {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Sie heissen auch positive Zahlen und gehören zu den ganzen Zahlen.

negative Zahlen

———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7

Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen,

den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z- È {0} È Z+ (È = Vereinigung)

 

Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Nettogewicht

"Reingewicht", Gewicht ohne Verpackung

In der Prozentrechnung gilt: (Beispiel)

Bruttogweicht —> 100%

Tara          —> 20%
———————————————————————————
Nettogewicht  —> 80%

Nettorechnungsbetrag

In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel)

Für den Abzug des Rabatts:

Bruttorechnungsbetrag —> 100% ("Rohbetrag")

Rabatt                —> 20%  (Mengenvergünstigung)
———————————————————————————
Nettorechnungsbetrag  —> 80%

Für den Abzug des Skonto:

Nettorechnungsbetrag —> 100% ("Reinbetrag")

Skonto               —> 2%   (Vergünstigung für prompte Bezahlung)
———————————————————————————— 
Warenpreis           —> 98%

Operation

Verknüpfung zweier ...

... Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

... Mengen: Durchschnitt, Vereinigung

Periode

Bei der Division ...

10 : 7 = 1,428571428571... = 1,428571

... ensteht ein nicht abbrechender Dezimalbruch

mit Periode: 428571; auch periodischer Dezimalbruch

1/3 =0,3333... =0,3 (lies: "Null Komma Periode 3")

Platzhalter

auch Variable, Stellvertreter für eine Zahl in der Algebra

z.B.: a, b, c, ..., x, y, z, A, B , C ,...

positive Zahlen

———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
    -6  -5  -4  -3  -2  -1   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7

Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen,

den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z- È {0} È Z+ (È = Vereinigung)

Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist gleich der Menge der

natürlichen Zahlen.

Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Potenz

a5 =a·a·a·a·a

Potenz

mit Basis a und Exponent 5

Primfaktor

Ist ein Teiler einer natürlichen Zahl prim, so heisst er Primfaktor.

Primfaktorzerlegung von 270 = 2·3·3·3·5

Primzahl

Eine natürliche Zahl mit genau 2 Teilern heisst Primzahl:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Produkt

3 · 4 = 12

1. Faktor mal 2. Faktor gleich Produkt

Beachte: auch 3·4 ist ein Produkt

Promille

"Tausendstel"

Beispiel:

3 0/00 von 5000 Fr. = 3/1000 von 5000 Fr. = 3·5 Fr. = 15 Fr.

Proportion

auch Verhältnisgleichung, Quotientengleichung

siehe auch direkt proportional, Kreuzprodukt

Beispiel:

30 : 4 = 120 : 16 <=> (Kreuzprodukt) 30·16=4·120

"30:4" und "120:6" sind Verhältnisse

Prozent

"Hundertstel"

Beispiel:

3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.

Prozentsatz

Im Beispiel ...

3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.

... ist der Prozentsatz 3 %

Prozentwert

Im Beispiel ...

3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.

... ist der Prozentwert 12 Fr.

Quadratzahl

Ist a eine natürliche Zahl, so ist a·a bzw. a2 eine Quadratzahl

Beispiele f. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25 (=5·5), 36, 49, ...

Quotient

Terme der Division:

8 : 4 = 2

Dividend durch Divisor gleich Quotient

                         8
Auch der Term 8 : 4 bzw. — heisst Quotient
                         4

Rabatt

In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel)

Für den Abzug des Rabatts:

Bruttorechnungsbetrag —> 100% ("Rohbetrag")

Rabatt                —>  20% (Mengenvergünstigung)
—————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag  —> 80%

Für den Abzug des Skonto:

Nettorechnungsbetrag  —> 100% ("Reinbetrag")

Skonto                —> 2% (Vergünstigung für prompte Bezahlung)
—————————————————————————————————— 
Warenpreis            —> 98%

Rest

Rest der Division 13 : 5:

13 : 5 = 2 Rest 3 <=> 5·2+3=13

 

Zahlen mit 7er-Rest 2 haben bei der Division durch 7 den Rest 2:

2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, ...

Beisp.: 37 : 7 = 5 Rest 2

Selbstkosten

Beispiel:

Selbstkosten   —> 100%

Gewinn         —>  30%
——————————————————————
Verkaufspreis  —> 130%

Skonto

In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel)

Für den Abzug des Rabatts:

Bruttorechnungsbetrag —> 100% ("Rohbetrag")

Rabatt                —>  20% (Mengenvergünstigung)
———————————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag  —> 80%

Für den Abzug des Skonto:

Nettorechnungsbetrag  —> 100% ("Reinbetrag")

Skonto                —>   2% (Vergünstigung für prompte Bezahlung)
————————————————————————————— 
Warenpreis            —> 98%

Steigung

Unter der Steigung bzw. dem Gefälle versteht man

den Höhenunterwschied in Prozenten der horizontalen Distanz.

Beispiel:

Eine Strasse überwindet auf eine horizontale Distanz von 12 km einen Höhenunterschied von 300 m.

12000 m —> 100% (Kreuzprodukt)

  300 m —>  x

     30000
x = ————— % = 2,5 % Die Steigung bzw. das Gefälle beträgt 2,5 %
         12000

Subtrahend

Terme der Subtraktion:

12 - 3 = 9

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

Subtraktion

Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "-"

Terme der Subtraktion:

12 - 3 = 9

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

auch der Term 12 - 3 heisst Differenz

 

Subtraktion ganzer Zahlen

ausführlich: vereinfacht:

(+5)-(+3)=+2 5-3=2

(+5)-(-3)=+8 5+3=8

(-5)-(+3)=-8 -5-3=-8

(-5)-(-3)=-2 -5+3=-2

Merkregeln:

+(+a) => +a +(-a) => -a

-(-a) => +a -(+a) => -a

 

Subtraktion von Brüchen

Brüche müssen vor dem Subtrahieren gleichnamig gemacht werden.

4   5   28   25    3
— - — = —— - —— = ——
5   7   35   35   35

Summand

Terme der Addition:

3 + 4 = 7

1.Summand plus 2.Summand gleich Summe

Summe

Terme der Addition:

3 + 4 = 7

1.Summand plus 2.Summand gleich Summe

auch der Term 3+4 heisst Summe

Tara

Gewicht der Verpackung

In der Prozentrechnung gilt: (Beispiel)

Bruttogweicht —> 100%

Tara          —> 20%
———————————————————————————
Nettogewicht  —> 80%

Teilbarkeit

natürliche Zahlen sind teilbar durch

- 2, wenn ihre Endziffer gerade ist

- 3, wenn ihre Ziffersumme durch 3 teilbar ist

- 4, wenn ihr Hunderterrest durch 4 teilbar ist

- 5, wenn ihre Endziffer 0 oder 5 ist

- 6, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar sind

- 7 (probieren)

- 8, wenn ihr tausenderrest duch 8 teilbar ist

- 9, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist

Teiler

Beispiel: 3 ist Teiler von 12 (12 ist Vielfaches von 3)

alle Teiler von 40:

1 · 40

2 · 20

4 · 10

5 · 8
—————
8 · 5

Menge der Teiler von 40:

T40 = {1,2,4,5,8,10,20,40}

teilerfremd

Zwei natürliche Zahlen heissen teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist.

Beispiele: 5 und 7, 12 und 35

Teilmenge

Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element

von A auch zu B gehört.

In Zeichen: A Ì B

Jede Teilmenge ist Teilmenge von sich selbst: A Ì A

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: {} Ì A

Term

Definition:

1. Jede Zahl und jeder Platzhalter (Variable) für eine Zahl heisst ein Term.

2. Jede Summe, Differenz, jedes Produkt, jeder Quotient und jede Potenz zweier Terme ist wieder ein Term.

Beispiele für Terme:

2, 4, c, 0, x2, 2+3, a-3c, 4a(3c+2e-1), (a+b)

Keine Terme sind die folgenden Gebilde:

3x = 12 (Gleichung, Aussageform)

3x < 45 (Aussageform, Ungleichung)

3+4=7 (Gleichung, wahre Aussage, Termumformung)

9-4=8 (falsche Aussage)

Variable

auch Platzhalter, Stellvertreter für eine Zahl

In der Gleichung ax - b = c heisst x auch Lösungsvariable, falls

sie nach x aufgelöst wird.

Vereinigung

Vereinigung von Mengen: eine Mengenverknüpfung

Unter der Vereinigung zweier Mengen A und B versteht man die

Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören. (oder zu beiden

Mengen; "oder" im nicht ausschliessenden Sinn)

In Zeichen: D = A È B

Beispiele:

A = {3,6,9,12,15,18,21,24,...}

B = {5,10,15,20,25,...}

D = A È B = {3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,...}

Beachte:

A È A = A A È {} = A {} È {} = {}

Verhältnis

Das Verhältnis zweier Zahlen ist ihr Quotient:

Beispiel:

                12
" 12 zu 16 " —> —— = 12 : 16 = 3 : 4
                               16

Das Verhältnis zweier Grössen ist der Quotient ihrer Masszahlen.

"25 m zu 20 m" —> 25 : 20 = 5 : 4 = 1 : 0,8 = 1,25 : 1

Verkaufspreis

Beispiel:

Selbstkosten  —>  100%

Gewinn              —>   30%
——————————————————————
Verkaufspreis —> 130%

Verknüpfung

auch Operation

Verknüpfung zweier ...

... Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

... Mengen: Durchschnitt, Vereinigung

Verlust

Beispiel:

Selbstkosten  —>  100%

Verlust       —>   30%
——————————————————————
Verkaufspreis —>   70%

Vertauschungsgesetz

auch Kommutativgesetz

der Addition: a+b = b+a

der Multiplikation: a·b=b·a

Verteilungsgesetze

Verteilungsgesetze der Multiplikation (auch Distributivgesetze)

bezüglich der Addition und Subtraktion:

a(b+c)=ab+ac und a(b-c)=ab-ac

Verteilungsrechnung

1. Beispiel:

Eine Strecke von 90 cm soll im Verhältnis 3 : 4 : 11 geteilt werden.

1.Teil: 3x —> 3·5 m = 15 m

2.Teil: 4x —> 4·5 m = 20 m

3.Teil: 11x —> 11·5 m = 55 m

Gleichung: 18x=90 <=> x=5

2. Beispiel:

Anna und Paul sollen 340 Fr. so teilen, dass Anna 20 Fr. mehr kriegt als Paul.

Anteil Anna: x+20 —> 180 Fr.

Anteil Paul: x —> 160 Fr.

Gleichung: 2x+20=340 <=> x=160

3. Beispiel:

Peter und Fritz sollen 308 Fr. so teilen dass Fritz 20% mehr kriegt als Peter.

Anteil von Peter: 100% von x = x —> 140 Fr.

Anteil von Fritz: 120% von x =1,2x —> 168 Fr.

Gleichung: 2,2x=308 <=> x=140

Vielfache

Beispiel: 12 ist Vielfaches von 3 (3 ist Teiler von 12)

Die Menge der Vielfachen von 4:

V4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}

Volumina

siehe Hohlmasse

Währungsumrechnung

Bedeutung des DM-Kurses 88,20/89,50 (in der Schweiz):

Die Bank zahlt für 100 DM 88,20 Fr. (Kauf)

Der Kunde zahlt für 100 DM 89,50 Fr. (Verkauf)

Beispiele:

Ich brauche 300 DM. Kosten b. obigem Kurs:

100 DM —> 89,50 Fr. (Verkauf)

300 DM —> x x = 268,50 Fr.

Ich bringe 860 DM und kriege bei obigem Kurs:

100 DM —> 88,20 Fr. (Kauf)

860 Dm —> y y = 758,52 Fr.

Zahlengerade

———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
   -6  -5  -4  -3  -2  -1   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7

Sie dient der Veranschaulichung der negativen und positiven Zahlen,

welche zusammen mit der Zahl 0 die Menge der ganzen Zahlen bilden.

s.a. ganze Zahlen, positive Zahlen, negative Zahlen

Zehnerpotenz

Eine Potenz mit der Basis 10:

100 = 1 ; 101 = 10 ; 102 = 100 ; 103 = 1000 ; 106 = 1 Mio.

Zeitmasse

Die Zeiteinheiten:

1 d = 24 h

1 h = 60 min = 3600 s

1 min = 60 s

1 sec = 1000 ms

d  —>  h  —>  min  —>  s  —>  ms
  ·24     ·60     ·60    ·1000

 

ms  —>  s  —>  min  —>  h  —> d
     :1000   :60      :60    :24

1. Aufgabenbeispiel zur Umrechnung von Zeiteinheiten:

Aufgabe: Wieviele h, min und sec sind 38'000 sec ?

Lösung:

38'000 : 3600 = 10 Rest 2000 —> 10 h

2000 : 60 = 33 Rest 20 —> 33 min

Es sind 10 h 33 min 20 sec

2. Aufgabenbeispiel für die Umrechnung von Zeiteinheiten:

Aufgabe: 3,6 h = ? min

Lösung:

3 h = 3 · 60 min = 180 min

0,6 h = 0,6 · 60 min = 36 min

Es sind 216 min

Zins

z Zins in Fr.; K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;

Jahreszinsformel:

    K·p
z = ———
    100

Marchzinsformel:

     K·p·t
zt = ———————
     100·360

Zinssatz

z Zins in Fr.; K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;

Jahreszinsformel:

    K·p         z·100
z = ——— <=> p = —————
    100           K

Marchzinsformel:

     K·p·t          z·100·360
z = ——————— <=> p = —————————
    100·360           K·t

Zuordnung

Beispiel für die Zuordnung zweier Grössen:

"... 23 kg kosten 245 Fr. ..."

Gewicht in kg  Betrag in Fr.

      23     ——> 245

usw.

Wird z.B. zur Darstellung von Dreisatzaufgaben verwendet.

Zusammenfassungsgesetz

auch Assoziativgesetz; es gilt für die

Addition: (a+b)+c = a+(b+c)

und für die

Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c)

Zweiersystem

Stellenwertsystem mit 2er-Bündelung; Basis=2

Es kennt nur die Ziffern 0 und 1

Die Zahlen heissen auch Dualzahlen oder Binärzahlen.

 

Beispiel: die Zahl 101011 auf dem "Rechenbrett" dargestellt:

———————————————————————————
... 25  24   23  22  21  20
———————————————————————————
    32  16   8   4   2   1
———————————————————————————
     1   0   1   0   1   1

hat den dezimalen Wert: 32+8+2+1=43