Geometrie Sekundarstufe I
© by J. Widmer, ATEUS 98
Zweck:
Stichwortverzeichnis:
auch Geradenspiegelung, eine Kongruenzabbildung
Eigenschaften:
1. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:- die Länge einer Strecke bleibt erhalten
- die Grösse eines Winkels bleibt erhalten
- parallele Geraden bleiben parallel
2. Achsensymmetrische Punkte haben gleichen Abstand von der
Symmetrieachse. Punkte auf der Symmetrieachse fallen mit ihrem Bildpunkt zusammen.3. Die Verbindungsgerade achsensymmetrischer Punkte steht
rechtwinklig zur Symmetrieachse (= Mittelsenkrechte).4. Achsensymmetrische Geraden sind parallel zur Symmetrieachse
oder schneiden sich auf der Achse und bilden mit ihr gleich grosse Winkel (= Mittelparallele bzw. Winkelhalbierende)5. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
6. Eine Achsenspiegelung (Geradenspiegelung) ist durch die
Spiegelachse (Symmetrieachse) eindeutig festgelegt.
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei entsprechenden Winkeln
übereinstimmen.(ww)Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten
und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.(sws)Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten
und dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.(ssW)Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis der drei Seiten
übereinstimmen. (sss)Ein Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der nicht
anliegenden Innenwinkel
Im gleichschenkligen Dreieck gilt:
Basiswinkel sind gleich gross.
Der Berührungsradius steht rechtwinklig zur Tangenten.
Es gilt die Proportion:
Bogen : Umfang = Zentriwinkel : 360°
auch Deltoid
- es hat eine Symmetrieachse
- die Diagonalen stehen rechtwinklig zueinander
e·f
Fläche: A = —————
2
auch Rotation, eine Kongruenzabbildung
Eigenschaften:
1. Jeder Punkt der Originalfigur bewegt sich
- um den gleichen Drehwinkel
- im gleichen Drehsinn
- auf einem Kreis um das Drehzentrum
2. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:3. Die Verbindungsstrecken entsprechender Punkte mit dem Drehzentrum bilden gleiche Winkel (= Drehwinkel).
4. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
5. Eine Drehung ist durch das Drehzentrum, den Drehwinkel und
den Drehsinn eindeutig festgelegt.
Grundlinie mal Höhe
Fläche des Dreiecks = ———————————————————
2
Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Figuren ist gleich
dem Quadrat des Streckungsfaktors:A' : A = k2
auch Scherung
Solange die Grundlinie g und die zugehörige Höhe h im
Dreieck gleich bleiben, bleibt die Dreiecksfläche gleich.
Flächenverwandlung Parallelogramm
auch Scherung
Solange die Grundlinie g und die zugehörige Höhe h im
Rhomboid gleich bleiben, bleibt die Fläche gleich.
Gegenwinkel an Parallelen messen zusammen 180 Grad
eine Kongruenzabbildung, siehe Achsenspiegelung
geometrischer Ort, geometrische Örter, Ortslinien
Linien, deren Punkte bestimmte Bedingungen erfüllen, heissen geometrische Örter.
Beispiele:
Gleichliegende Winkel (auch Stufenwinkel) an Parallelen
sind gleich gross
Höhensatz des Euklid:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe
flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.h2 = pq
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Im rechtwinkligen Dreieck teilt der Fusspunkt der Höhe zur
Hypotenuse diese in die beiden Hypotenusenabschnitte. (im Bild p und q)s.a. Höhensatz
Die Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich im Inkreismittelpunkt.
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°.
Die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck heissen Katheten.
Kathetensatz des Euklid
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete
flächengleich dem Rechteck, gebildet aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
s.a. Pythagoras
Bezeichnungen:
1 Sehne
7 Peripherie (Kreisrand)
2 Sekante
8 Peripheriewinkel
3 Durchmesser 9 Zentriwinkel
4 Zentrale
10
Sektor(-fläche)
5 (Berührungs-)radius 11 Segment
6 Tangente
Berechnung: u = 2r
p A = r²p
Sie halbiert zwei Dreiecksseiten und liegt
parallel zur dritten Seite.
Nebenwinkel messen zusammen 180 Grad.
Der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus eine gegebene
Strecke unter einem gegebenen Winkel erscheint, ist das Ortsbogenpaar.Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne (bzw. über dem
gleichen Bogen) sind gleich gross.Jeder Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
sind Vierecke, deren gegenüberliegende Seiten parallel sind:
-> Rhomboid, Rhombus, Rechteck, Quadrat
auch Translation, eine Kongruenzabbildung
Eigenschaften:
1. Jeder Punkt der Originalfigur bewegt sich
- um die gleiche Strecke
- in der gleichen Richtung
- auf einer Geraden, die zu den andern Verschiebungsgeraden parallel ist
2. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:3. Eine in der Verschiebungsrichtung liegende Gerade wird in
sich selbst verschoben, jede andere Gerade geht in eine entsprechende parallele Gerade über.4. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
5. Eine Parallelverschiebung ist durch einen Schiebungspfeil
(Vektor) eindeutig festgelegt.
-> Kreis
Sie haben ihren Scheitelpunkt auf der Peripherie eines Kreises.
Ihre Schenkel schneiden die Peripherie (den Kreis).
Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne (bzw. über dem
gleichen Bogen) sind gleich gross.Jeder Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
(Dreiecksprisma)
Eine Proportion ist die Gleichsetzung zweier Verhältnisse
(auch Verhältnisgleichung oder Quotientengleichung):z.B.: a : b = c : x
Es gilt:
a : b = c : x <=> ax = bc (Kreuzprodukt,Produktengleichung)
x wird "4. Proportionale" genannt: x = bc : a
Spezialfall: die stetige Proportion
a : x = x : b <=> x2 = ab
x wird "mittlere Proportionale" genannt: x = Wurzel aus ab
auch Drehung um 180 Grad, eine Kongruenzabbildung
Eigenschaften:
1. Jeder Punkt der Originalfigur bewegt sich
- um 180 Grad
- auf einem Kreis um das Drehzentrum
2. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:3. Punktsymmetrische Punkte liegen gleich weit vom
Symmetriezentrum entfernt.4. Die Verbindungsstrecke punktsymmetrischer Punkte geht
durch das Symmetriezentrum.5. Punktsymmetrische Geraden sind parallel oder liegen auf einer
Geraden, die durch das Symmetriezentrum geht.6. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
7. Eine Drehung ist durch das Drehzentrum (Symmetriezentrum)
eindeutig festgelegt.
A·h
V = ————— (A = Grundfläche, h = Höhe)
Im rechwinkligen Dreieck gilt:
Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe aus den beiden
Kathetenquadrate.a2 + b2 = c2
s.a. Kathetensatz
V = l·b·h
spezielles Parallelogramm
Seitenlängen: alle vier gleich lang
Gegenseiten: gleich lang, parallel
Summe der Eckwinkel: 360 Grad
gegenüberliegende Winkel: gleich gross, 90 Grad
Länge der Diagonalen: gleich lang
Diagonalenabschnitte: alle gleich lang
Diagonalenwinkel: je 90 Grad
Eckwinkel: 90 Grad, werden halbiert
Symmetrieachsen: 4: Diagonalen, Mittellinien
Symmetriezentrum: Diagonalenschnittpunkt
Inkreis: ja
Umkreis: ja
spezielles Parallelogramm
Seitenlängen: je zwei gleich lang
Gegenseiten: gleich lang, parallel
Summe der Eckwinkel: 360 Grad
gegenüberliegende Winkel: gleich gross
Länge der Diagonalen: gleich lang
Diagonalenabschnitte: alle gleich lang
Diagonalenwinkel: nicht 90 Grad
Eckwinkel: werden nicht halbiert
Symmetrieachsen: 2: Mittellinien
Symmetriezentrum: Diagonalenschnittpunkt
Inkreis: nein
Umkreis: ja
Die beiden kleineren Seiten heissen Katheten,
die grösste Hypotenuse.Es gilt der Satz des Pythagoras:
Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe aus den
Kathetenquadraten.a2 + b2 = c2
Der Umkreis des rechtwinkligen Dreiecks ist der Thaleskreis.
allgemeines Parallelogramm
Seitenlängen: je zwei gleich lang
Gegenseiten: gleich lang, parallel
Summe der Eckwinkel: 360 Grad
gegenüberliegende Winkel: gleich gross
Länge der Diagonalen: nicht gleich lang
Diagonalenabschnitte: je zwei gleich lang
Diagonalenwinkel: nicht 90 Grad
Eckwinkel: werden nicht halbiert
Symmetrieachsen: keine
Symmetriezentrum: Diagonalenschnittpunkt
Inkreis: nein
Umkreis: nein
spezielles Parallelogramm
Seitenlängen: alle vier gleich lang
Gegenseiten: gleichlang, parallel
Summe der Eckwinkel: 360 Grad
gegenüberliegende Winkel: gleich gross
Länge der Diagonalen: nicht gleich lang
Diagonalenabschnitte: je zwei gleich lang
Diagonalenwinkel: 90 Grad
Eckwinkel: werden halbiert
Symmetrieachsen: 2: Diagonalen
Symmetriezentrum: Diagonalenschnittpunkt
Inkreis: ja
Umkreis: nein
auch Drehung, eine Kongruenzabbildung
Schnittpunkt der Schenkel eines Winkels
Scheitelwinkel sind gleich gross.
Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Dreieck schneiden
sich im Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden
im Verhältnis 1 : 2
s. Kreis
Gleichlange Sehnen im gleichen Kreis haben
gleiche Abstände von Zentrum.
Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck
messen zusammen 180°.
Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Dreieck schneiden
sich im Schwerpunkt.
Sie teilen sich im Verhältnis 1 : 2
Für die Sektorfläche (A) gelten die Proportionen:
Sektorfläche : Kreisfläche = Bogen : Umfang
und
Sektorfläche : Kreisfläche = Zentriwinkel : 360 Grad
Es gilt auch: A = b·r : 2
s.a. Kreis
siehe Punktspiegelung oder Achsenspiegelung
Erster Strahlensatz:
Werden die Schenkel eines Winkels von parallelen Geraden
geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen
Schenkel wie die entsprechenden Abschnitte auf dem andern
Schenkel.
Zweiter Strahlensatz:
Werden die Schenkel eines Winkels von parallelen Geraden
geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen
wie die Abschnitte auf einem Schenkel vom Scheitelpunkt aus
gemessen. —————
siehe zentrische Streckung
auch Aehnlichkeitsverhältnis
bei ähnlichen Figuren gilt für den Streckungsfaktor k:
k = Bildstrecke : entsprechender Originalstrecke
k<1 —> Verkleinerung
k=1 —> Original- und Bildfigur sind kongruent
k>1 —> Vergrösserung
Flächenverhältnis:
Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Figuren ist gleich
dem Quadrat des Streckungsfaktors:
2
A' : A = k
Stufenwinkel (auch gleichliegende Winkel) an Parallelen
sind gleich gross
auch Spiegelachse, siehe Achsenspiegelung
Drehzentrum einer Drehung um 180 Grad (Punktspiegelung)
Tangenten (t) stehen rechtwinklig zum Berührungsradius.(r)
Tangenten stehen rechtwinklig zum Berührungsradius.
auch Parallelverschiebung, eine Kongruenzabbildung
Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind
Die Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten schneiden sich
im Umkreismittelpunkt.
Unter dem Verhältnis zweier Grössen versteht man den Quotienten
ihrer Masszahlen.
Beispiel:
Eine Strecke a misst 6cm, eine Strecke b 4cm.
Ihr Verhältnis (a : b) ist
6cm : 4cm = 6 : 4 = 3 : 2 = 1,5 : 1 = 1,5
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross.
Die Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich im Inkreismittelpunkt.
Die Winkelhalbierende teilt eine Dreiecksseite im Verhältnis der
anliegenden Seiten: u : v = b : a
Konstruktion (Film)
V = s³
O = 6s²
Unter einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und dem
Streckungsfaktor k verstehen wir eine punktweise Abbildung
nach folgender Vorschrift:
1. Jeder von Z verschiedene Punkt A wird in den Bildpunkt A'
abgebildet, dass gilt:
A'Z : AZ = k (Streckungsverhältnis)
A, Z und A' liegen auf der gleichen Geraden
2. Das Zentrum Z wird auf sich selbst abgebildet: Z=Z'
Eigenschaften zentrisch gestreckter Figuren:
- sie sind ähnlich (winkeltreu und verhältnistreu)
- Geraden durch Z werden auf sich selbst abgebildet,
jede andere Gerade wird in eine zu ihr parallelen Gerade
abgebildet
- der Umlaufsinn von Original- und Bildfigur ist gleich
Zum Beispiel im Bild:
Streckungsverhältnis:
k = a' : a = b' : b = c' : c = 5 : 2 = 2,5
(d.h. jede Bildstrecke ist 2,5 mal so lang wie ihre entsprechende Originalstrecke)
Flächenverhältnis:
k² = A' : A = 25 : 4 = 6,25 (Beispiel)
(d.h. die Bildfläche ist 6,25 mal so gross wie die Originalfläche)
Er hat seinen Scheitelpunkt im Zentrum eines Kreises.
Jeder Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
p d²
V = ————— · h
4
p d²
O = ————— + p dh
(p dh
= Mantel)
2
